Business Talent Network

1.2 Kansrekening

Als er een willekeurig experiment (ook wel random experiment = een actie of proces dat leidt tot een of meerdere mogelijke uitkomsten) wordt uitgevoerd zijn een paar begrippen van belang.

Alle mogelijke uitkomsten van zo’n experiment bij elkaar noemt men de uitkomstenruimte (Ω). Het complement van Ω noteert men als ∅ (=Ωc). Elk element van Ω heeft een uitkomst ω. De notatie ω ∈ Ω staat voor ″ω is element van Ω en deelverzamelingen van Ω heten gebeurtenissen.

Een paar (Ρ, Ω) dat bestaat uit verzamelingen Ω en kansfunctie Ρ noemt men een kansruimte. Deze kansruimte voegt aan elke deelverzameling Α ⊂ Ω een reëel getal op het interval [0;1] toe en wel op zo'n manier dat er sprake is van de twee volgende axioma's (axioma = een niet bewezen , maar als grondslag aanvaarde stelling):

  1. Ρ(Ω) = 1
  2. als de deelverzameling A1, A2,... van Ω paarsgewijs disjunct zijn.

De kans op gebeurtenis Α noteert met als Ρ(Α). De term disjunct vereist wat toelichting. Twee gebeurtenissen Α en Β zijn disjunct als geldt Α ∩ Β = ∅. Met andere woorden, Α en Β sluiten elkaar uit.

Uit de 2 bovenstaande axioma's kan het volgende geconcludeerd worden:

Als Α ⊂ Β dan Ρ(Β − Α) = Ρ(Β) − Ρ(Α) = Ρ(Αc ∩ Β)
Als Ρ(Αc) = 1 − Ρ(Α); in geval van Α = Ω : Ρ(∅) = 0
Als Α ⊂ Β dan Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)
formule
formule: ongelijkheid van Bonferroni ;dit is ook wel de ongelijkheid van Bonferroni
Als Α1, Α2, …, Αn paarsgewijs disjunct zijn dan geldt Ρ(Α1 ∪ … ∪ Αn = Ρ(Α1 + … + Ρ(Α1)

Er is een uitzondering op al het bovenstaande: Heeft Ω een eindig aantal elementen (Ν) met allen gelijke kansen dan geldt Ρ(ω) = 1 ⁄ Ν voor iedere &omega ∈ Ω. Tevens geldt dat formule is het aantal elementen van Α

Voorbeeld 1a

Beschouw de verzameling Ω = {1,2,3,4}. Definieer voor iedere deelverzameling Α ⊃ Ω

formule

Dit voorbeeld kan model staan voor een worp met (let op!) een 4-zijdige dobbelsteen.

4-zijdige dobbelsteenFiguur 1b : 4-zijdige dobbelsteen (bron: www.wikipedia.nl)

Voorbeeld 1b

Beschouw de verzameling Ω = {1,2,3,4} x {1,2,3,4}. Definieer voor iedere deelverzameling Α ⊃ Ω

formule

Dit voorbeeld kan model staan voor twee worpen met een 4-zijdige dobbelsteen. De gebeurtenis "twee gelijke ogen" zou omschreven worden als Ω = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) }.

Voorwaardelijke kans

Vaak wil men weten hoe twee gebeurtenissen gerelateerd zijn. Sterker nog, men wil de kans weten van een gebeurtenis gegeven dat een andere, gerelateerde gebeurtenis plaatsvindt. Deze kans noemt men de voorwaardelijke kans wordt als volgt genoteerd:

De kans op Α, gegeven Β is:

Ρ(Α | Β) = Ρ(Α ∩ Β)  ⁄  Ρ(Β)

De kans op Β, gegeven Α is:

Ρ(Β | Α) = Ρ(Α ∩ Β)  ⁄  Ρ(Α)

Voortbordurend op deze definities kan men de productregel toepassen:

Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Β) x Ρ(Α | Β) = Ρ(Α) x Ρ(Β | Α)

Voorbeeld 1c

Toptennisser Nedal speelt in de finale van het tennistoernooi Ronald Barros tegen de winnaar van de halve finale tussen Foderer en Kraaijenbek. Aangezien Kraaijenbek zijn beste jaren tennis al gehad heeft, schat men de kans dat Foderer de finale haalt op 86%. De kans dat Nedal Foderer in de finale verslaat is 67%, daar Nedal heer en meester is op gravel. De kans dat Nedal Kraaijenbek in de finale verslaat is nog groter, te weten 93%. De kans dat Nedal het toernooi wint, wordt dan als volgt berekend:

Ρ(Nedal wint Ronald Barros) = Ρ(Foderer wint halve finale) × Ρ(Nedal wint Ronald Barros | Foderer wint halve finale) + Ρ(Kraaijenbek wint halve finale) × Ρ(Nedal wint Ronald Barros | Kraaijenbek wint halve finale)

=  0,86 × 0,67 + 0,14 × 0,93 = 70,6 %

Thesis Match-Maker Total Award €4.000

Thesis Matchmaker

There are many prizes to win with your thesis in the Netherlands. More than €100.000 euros per year.

By entering data into our thesis price matchmaker you will discover within two minutes, for which price your thesis is eligible.

You will then be informed by receiving email in your own dashboard. This way you will know exactly when to sign up for a price that matches your course and thesis

Good luck!

Start the test